行列とその演算 #
\(mn\) 個の実数または複素数 \(a_{ij} \; (i = 1, \cdots, m, \enspace j = 1, \cdots, n)\) を
$$ A = \begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix} = \footnotesize \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} $$と配列したものを \(m \times n\) 行列という．
\(i\) 行 \(j\) 列に位置する数 \(a_{ij}\) を \((i,j)\) 成分という．
\(n \times n\) 行列を \(n\) 次正方行列という．
\(1 \times n\) 行列 \(\overrightarrow{a} = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_j & \cdots & a_n\end{bmatrix}\) を \(n\) 次行ベクトルという．
\(m \times 1\) 行列 \(\bm{a} = \footnotesize \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_i \\ \vdots \\ a_m \end{bmatrix}\) を \(m\) 次列ベクトルという．
\(m\) 個の \(m\) 次列ベクトル \(\bm{e}_k = \footnotesize\begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}\) ( \(k\) 番目が \(1\) ) を \(m\) 次基本ベクトルという．
行列は \(A = \begin{bmatrix} \bm{a}_1 & \bm{a}_2 & \cdots & \bm{a}_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \overrightarrow{a}_1 \\ \overrightarrow{a}_2 \\ \vdots \\ \overrightarrow{a}_m \end{bmatrix}\) と書ける．
\(n\) 個の \(n\) 次基本ベクトル \(\bm{e}_1, \bm{e}_2, \cdots, \bm{e}_n\) がこの順で並んだ \(n\) 次正方行列を \(E_n\) と書き、\(n\) 次単位行列という．
クロネッカー記号 \(\delta_{ij} = \begin{cases} 1 & (i = j) \\ 0 &(i \ne j) \end{cases}\) を用いると \(E_n = \begin{bmatrix} \delta_{ij} \end{bmatrix}\) と書ける．
すべての成分が \(0\) である \(m \times n\) 行列を \(m \times n\) 零行列といい \(O_{m,n}, \, O\) と書く．
行列の相等、和、スカラー倍 #
2つの \(m \times n\) 行列 \(A = \begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}, \, B = \begin{bmatrix}b_{ij}\end{bmatrix}\) に対して
-
行列の相等
$$ A = B \quad :\xLeftrightarrow{} \quad {}^\forall (i,j), \quad a_{ij} = b_{ij} $$ -
行列の和とスカラー倍
\(\alpha\) を定数として
$$ \begin{align*} A + B &\coloneqq \begin{bmatrix} a_{ij} + b_{ij} \end{bmatrix} \\ \alpha A &\coloneqq \begin{bmatrix}\alpha a_{ij} \end{bmatrix} \end{align*} $$また、\(A - B \coloneqq A + (-1)B\)
行列の和とスカラー倍については交換法則、結合法則、分配法則が成り立つ．
また、\(O_{m,n} = O\) に対して
$$ A + O = O + A = A $$型の異なる行列の和は定義しない．
行列の積 #
\(n\) 次行ベクトル \(\overrightarrow{a} = \begin{bmatrix} a_1 & \cdots & a_j & \cdots & a_n \end{bmatrix}\)、\(n\) 次列ベクトル \(\bm{b} = \footnotesize\begin{bmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_j \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}\) に対して
$$ \overrightarrow{a} \cdot \bm{b} \coloneqq a_1b_1 + \cdots + a_jb_j + \cdots + a_nb_n = \sum_{j=1}^n a_jb_j $$行列の積は \(\newcommand\ntsize[1]{{\footnotesize #1}}(m \times n \ntsize{\textsf{ 行列}})(n \times r \ntsize{\textsf{ 行列}})\) に対してのみ定める．
\(m \times n\) 行列 \(A = \begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix} = {\footnotesize\begin{bmatrix} \overrightarrow{a}_1 \\ \vdots \\ \overrightarrow{a}_i \\ \vdots \\ \overrightarrow{a}_m \end{bmatrix}}, \, \overrightarrow{a}_i = \begin{bmatrix}a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in}\end{bmatrix}\) と \(n \times r\) 行列 \(B = \begin{bmatrix}b_{jk}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\bm{b}_1 & \cdots & \bm{b}_k & \cdots & \bm{b}_r\end{bmatrix} \, \bm{b}_k = \footnotesize\begin{bmatrix} b_{1k} \\ \vdots \\ b_{jk} \\ \vdots \\ b_{nk} \end{bmatrix}\) の積 \(AB\) は
$$ AB \coloneqq \footnotesize\begin{bmatrix} \overrightarrow{a}_1\cdot\bm{b}_1 & \overrightarrow{a}_1\cdot\bm{b}_2 & \cdots & \overrightarrow{a}_1\cdot\bm{b}_k & \cdots & \overrightarrow{a}_1\cdot\bm{b}_r \\ \overrightarrow{a}_2\cdot\bm{b}_1 & \overrightarrow{a}_2\cdot\bm{b}_2 & \cdots & \overrightarrow{a}_2\cdot\bm{b}_k & \cdots & \overrightarrow{a}_2\cdot\bm{b}_r \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \overrightarrow{a}_i\cdot\bm{b}_1 & \overrightarrow{a}_i\cdot\bm{b}_2 & \cdots & \overrightarrow{a}_i\cdot\bm{b}_k & \cdots & \overrightarrow{a}_i\cdot\bm{b}_r \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ \overrightarrow{a}_m\cdot\bm{b}_1 & \overrightarrow{a}_m\cdot\bm{b}_2 & \cdots & \overrightarrow{a}_m\cdot\bm{b}_k & \cdots & \overrightarrow{a}_m\cdot\bm{b}_r \\ \end{bmatrix} $$\(AB\) は \((i,k)\) 成分が \(\displaystyle\overrightarrow{a}_i\cdot\bm{b}_k = \sum_{j=1}^n a_{ij} b_{jk}\) の \(m \times r\) 行列である．
次のようにも表現できる．
$$ AB = \begin{bmatrix}A\bm{b}_1 & \cdots & A\bm{b}_i & \cdots & A\bm{b}_r\end{bmatrix} = \footnotesize\begin{bmatrix} \overrightarrow{a}_1B \\ \vdots \\ \overrightarrow{a}_iB \\ \vdots \\ \overrightarrow{a}_mB \\ \end{bmatrix} $$次が成り立つ．
-
分配法則
\(m \times n\) 行列 \(A, A_1, A_2\)、\(n \times r\) 行列 \(B, B_1, B_2\) 及び定数 \(\alpha_1, \alpha_2\) に対して
$$ \begin{align*} (\alpha_1 A_1 + \alpha_2 A_2) B &= \alpha_1 A_1 B + \alpha_2 A_2 B \\ A(\alpha_1 B_1 + \alpha_2 B_2) &= \alpha_1 A B_1 + \alpha_2 A B_2 \end{align*} $$ -
結合法則
\(m \times n\) 行列 \(A\)、\(n \times r\) 行列 \(B\)、\(r \times s\) 行列 \(C\) に対して
$$ (AB)C = A(BC) $$両辺はともに \(m \times s\) 行列である．
$$ \begin{align*} A &\coloneqq \begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix} &&(1 \le i \le m, \, 1 \le j \le n) \\ B &\coloneqq \begin{bmatrix} b_{jk} \end{bmatrix} &&(1 \le j \le n, \, 1 \le k \le r) \\ C &\coloneqq \begin{bmatrix} c_{kl} \end{bmatrix} &&(1 \le k \le r, \, 1 \le l \le s) \end{align*} $$とする．
両辺の \((i, l )\) 成分が一致することを示せばよい．
$$ \newcommand\ntsize[1]{{\footnotesize #1}} \begin{align*} (AB)C \ntsize{\textsf{ の }} (i, l) \ntsize{\textsf{ 成分}} &= \sum_{k=1}^r \left( \sum_{j=1}^n a_{ij}b_{jk} \right) c_{kl} = \sum_{k=1}^r \left( \sum_{j=1}^n a_{ij}b_{jk}c_{kl} \right) \tag{1} \\ A(BC) \ntsize{\textsf{ の }} (i, l) \ntsize{\textsf{ 成分}} &= \sum_{j=1}^n a_{ij}\left( \sum_{k=1}^r b_{jk}c_{kl} \right) = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{k=1}^r a_{ij}b_{jk}c_{kl} \right) \tag{2} \end{align*} $$\((1), (2)\) は共に \(a_{ij}b_{jk}c_{kl}\) を \(j = 1, \cdots, n, \enspace k = 1, \cdots, r\) にわたってすべて足し合わせたものである．
よって \((1) = (2)\)．
逆行列 #
\(A\) を \(n\) 次正方行列とする．
$$ AX = XA = E_n $$を満たす \(n\) 次正方行列 \(X\) が存在するとき、\(A\) を正則行列という．また、\(X\) を \(A\) の逆行列という．
正則行列 \(A\) に対して、その逆行列は唯一つである．
\(X, X^\prime\) が共に \(A\) の逆行列であるとする．このとき
$$ X = XE_n = X(AX^\prime) = (XA)X^\prime = E_n X^\prime = X^\prime $$故に \(X = X^\prime\)．
逆行列には一意性があるため、正則行列 \(A\) に対して、その逆行列を \(A^{-1}\) と書く．
\(A, B\) が共に \(n\) 次正則行列であれば、\(AB\) も正則であり
$$ (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} $$\(A, B\) は正則より逆行列 \(A^{-1}, B^{-1}\) をもつ．このとき
$$ \begin{align*} (AB)(B^{-1}A^{-1}) &= A(BB^{-1})A^{-1} = AE_n A^{-1} = AA^{-1} = E_n \\ (B^{-1}A^{-1})(AB) &= B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1}E_n B = B^{-1}B = E_n \end{align*} $$よって \(B^{-1}A^{-1}\) は \((AB)(B^{-1}A^{-1}) = (B^{-1}A^{-1})(AB) = E_n\) を満たす．
故に \(AB\) は正則で \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\) である．
正則行列 \(A\) に対して
$$ \begin{align*} AX = B \quad &\xLeftrightarrow{} \quad X = A^{-1}B \\ YA = C \quad &\xLeftrightarrow{} \quad Y = CA^{-1} \end{align*} $$2次正方行列 \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) に対して、数 \(\det A \coloneqq ad - bc\) を \(A\) の行列式という．
$$ \newcommand\ntsize[1]{{\footnotesize #1}} A \ntsize{\textsf{ が正則}} \quad \xLeftrightarrow{} \quad \det A \ne 0 $$であり、このとき \(\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{\det A}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\) である．
-
\(\xRightarrow{}\)
\(A \coloneqq (a_{ij}), \, B \coloneqq (b_{ij}) \; (1 \le i,j \le 2)\) とする．
直接計算することで
$$ \newcommand\ntsize[1]{{\footnotesize #1}} \begin{align*} \det (AB) &= \det \left( \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix} \right) \\ &= \det\begin{bmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \end{bmatrix} \\ &= (a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21})(a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22}) - (a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22})(a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21}) \\ &= a_{11}a_{22}b_{11}b_{22} + a_{12}a_{21}b_{12}b_{21}-a_{11}a_{22}b_{12}b_{21}-a_{12}a_{21}b_{11}b_{22} \\ &= (a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})(b_{11}b_{22}-b_{12}b_{21}) \\ &= \det\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\det\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix} \\ &= (\det A)(\det B) \qquad \ntsize{\textsf{行列式の乗法性}} \\ \det(E_2) &= \det\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix} = 1 \end{align*} $$となることが分かる．
\(A\) が正則であるので \(AX = E_2\) なる2次正方行列 \(X\) が存在する．このとき
$$ (\det A)(\det X) = \det (AX) = \det (E_2) = 1 \ne 0 $$よって \(\det A \ne 0\) である．
-
\(\xLeftarrow{}\)
\(\det A \ne 0\) のとき \(\displaystyle X \coloneqq \frac{1}{\det A} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\) は2次正方行列である．
直接計算することで
$$ \begin{align*} AX &= \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \frac{1}{\det A} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} = \frac{1}{\det A}\begin{bmatrix} ad-bc & -ab+ab \\ cd-cd & -bc+ad \end{bmatrix} = E_2 \\ XA &= \frac{1}{\det A} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \frac{1}{\det A}\begin{bmatrix} ad-bc & -ab+ab \\ cd-cd & -bc+ad \end{bmatrix} = E_2 \end{align*} $$より \(AX=XA=E_2\) となることが分かる．
よって \(A\) は正則であり \(\displaystyle A^{-1} = X = \frac{1}{\det A} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\)．
転置行列 #
\(A = \footnotesize\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{l1} & a_{l2} & \cdots & a_{lm} \end{bmatrix}\) に対して \(A^\top = \footnotesize\begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{l1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{l2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1m} & a_{2m} & \cdots & a_{lm} \end{bmatrix}\) を \(A\) の転置行列という．
\(l \times m\) 行列 \(A = \begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}\) に対して、転置行列は \(A^\top = \begin{bmatrix}{{a}^\prime}_{ji}\end{bmatrix}, \, {{a}^\prime}_{ji} = a_{ij}\) により定まる \(m \times l\) 行列である．
次が成り立つ．
$$ \newcommand\ntsize[1]{{\footnotesize #1}} \begin{align*} (A^\top)^\top &= A \\ (A\pm B)^\top &= A^\top \pm B^\top \\ (AC)^\top &= C^\top A^\top &&(A:l\times m\ntsize{\textsf{ 行列}}, \, C:m\times n\ntsize{\textsf{ 行列}}) \end{align*} $$両辺共に \(n \times l\) 行列である．
両辺の各成分が等しいことを示せばよい．
\(A \coloneqq (a_{ij}), \, C = (c_{jk})\) とする．\(A^\top = ({a^\prime}_{ji}), \, {a^\prime}_{ji} = a_{ij}\)、 \(C^\top = ({c^\prime}_{kj}), \, {c^\prime}_{kj} = c_{jk}\) となる．
$$ \newcommand\ntsize[1]{{\footnotesize #1}} \begin{align*} (AC)^\top \textsf{ の } (k,i) \ntsize{\textsf{ 成分}} &= AC \ntsize{\textsf{ の }} (i,k) \ntsize{\textsf{ 成分}} = \sum_{j=1}^m a_{ij} c_{jk} \\ C^\top A^\top \textsf{ の } (k,i) \ntsize{\textsf{ 成分}} &= \sum_{j=1}^m {c^\prime}_{kj}{a^\prime}_{ji} = \sum_{j=1}^m c_{jk}a_{ij} \end{align*} $$両者は等しい．
行列の基本変形とランク #
行列 \(A\) に対して次の基本変形と呼ばれる操作を考える．これらは \(A\) に正則行列を掛けることにより得られる．
- 左基本変形 (行基本変形)
- \(A\) の2つの行を入れ替える．
- \(A\) のある行に \(0\) でない数を掛ける．
- \(A\) のある行に別の行の定数倍を足す．
- 右基本変形 (列基本変形)
- \(A\) の2つの列を入れ替える．
- \(A\) のある列に \(0\) でない数を掛ける．
- \(A\) のある列に別の行の定数倍を足す．
左基本行列 \(P_1, \cdots, P_t\) と右基本行列 \(Q_1, \cdots, Q_s\) をうまく選べば \(A\) をランク標準形にできる．
$$ P_t\cdots P_1 A Q_1 \cdots Q_s = \footnotesize\begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|c} 1 & & 0 & 0 \\ & \overset{r}{\ddots} & & \vdots \\ 0 & & 1 & 0 \\ \hline 0 & \cdots & 0 & O \end{array}\end{bmatrix} $$方法に依らず \(A\) のランク標準形は一意に定まる．\(A\) のランク標準形に現れる \(1\) の個数 \(r\) を \(A\) のランク (階数) といい、\(\operatorname{rank}A, \, \operatorname{rk} A\) と書く．
\(C, D\) を \(n\) 次正方行列とする．
$$ \newcommand\ntsize[1]{{\footnotesize #1}} CD = E_n \quad \xRightarrow{} \quad C, D \ntsize{\textsf{ は共に正則で }} C = D^{-1}, \, D = C^{-1} $$ある \(n\) 次正則行列 \(P, Q\) が存在して
$$ PDQ = {\footnotesize \begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|} & & & 0 \\ & \large E_r & & \vdots \\ & & & 0 \\ \hline 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array}\end{bmatrix}} \quad (r \le n) $$とできる．
\(r = n\) であれば \(PDQ = E_n\) で \(P, Q\) は正則なので \(D = P^{-1}Q^{-1}\) となり、\(D\) は正則であることが分かる．\(CD = E_n\) より \(C = D^{-1}\) となり \(C\) が正則かつ \(C^{-1} = D\) となることが分かる．
故に \(r = n\) となることを示せばよい．
\(r < n\) と仮定して矛盾を導く．
\(CD = E_n\) より
$$ \begin{align*} Q^{-1}CP^{-1}PDQ &= Q^{-1} CD Q \\ &= Q^{-1} E_n Q \\ &= Q^{-1} Q \\ &= E_n \\ Q^{-1}CP^{-1} {\footnotesize \begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|} & & & 0 \\ & \large E_r & & \vdots \\ & & & 0 \\ \hline 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array}\end{bmatrix}} &= E_n \end{align*} $$\(r < n\) より
$$ \renewcommand\textsf[1]{\text{\sf\footnotesize #1}} \begin{align*} Q^{-1}CP^{-1} {\footnotesize \begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|} & & & 0 \\ & \large E_r & & \vdots \\ & & & 0 \\ \hline 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array}\end{bmatrix}} \textsf{ の } n \textsf{ 列目} = {\small \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}} \ne {\small \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}} = E_n \textsf{ の } n \textsf{ 列目} \end{align*} $$となり矛盾する．
\(A\) を \(n\) 次正方行列とする．このとき次は同値である．
- \(A\) は正則行列 (すなわち \(AX = XA = E_n\) なる \(n\) 次正方行列 \(X\) が存在する)
- \(\operatorname{rank} A = n\) (すなわち基本変形を繰り返して \(E_n\) に出来る)
- 行基本変形のみ或いは列基本変形のみを繰り返して \(A\) を \(E_n\) に出来る．
- \(A\) は \(n\) 次基本行列の積の形で書ける．
- \(A\bm{x} = \bm{0}\) なる \(n\) 次列ベクトル \(\bm{x}\) は \(\bm{0}\) のみ．
-
\((1) \xRightarrow{} (2)\)
先程の補題の証明中に示された．
-
\((2) \xRightarrow{} (1)\)
\((2)\) のとき、ある \( n \times n \) 基本行列 \(P_1, \cdots, P_t, \, Q_1, \cdots, Q_s\) が存在し
$$ \begin{gather*} P_t \cdots P_1 A Q_1 \cdots Q_s = E_n \\ \therefore \quad A = {P_1}^{-1}\cdots{P_t}^{-1} {Q_s}^{-1}\cdots{Q_1}^{-1} \tag{\(*\)} \end{gather*} $$したがって \(A\) は正則行列の積で書けるので正則である．
-
\((3) \xRightarrow{} (2)\)
自明
-
\((2) \xRightarrow{} (3)\)
\((3)\) のとき \((*)\) より
$$ \begin{align*} Q_1 \cdots Q_s P_t \cdots P_1 A &= E_n \tag{L} \\ A Q_1 \cdots Q_s P_t \cdots P_1 &= E_n \tag{R} \end{align*} $$\((\text{L})\) より行基本変形のみを、\((\text{R})\) より列基本変形のみを繰り返して \(A\) を \(E_n\) に出来ることが分かる．
-
\((4) \xRightarrow{} (1)\)
基本行列は正則なので、その積も正則である．
-
\((1) \xRightarrow{} (4)\)
\(A\) に左基本変形のみを施して \(E_n\) にできる．
つまり \(P_t \cdots P_1 A = E_n\) なる基本行列 \(P_1, \cdots, P_t\) が存在する．
このとき \(A = {P_1}^{-1}\cdots{P_t}^{-1}\)．
基本行列の逆行列も基本行列であるから \({P_1}^{-1}, \cdots, {P_t}^{-1}\) も基本行列である．
故に \(A\) は基本行列の積で書ける．
-
\((1) \xRightarrow{} (5)\)
\(A\) は正則なので \(A^{-1}\) を \(A\bm{x} = \bm{0}\) に左からかけると \(\bm{x} = \bm{0}\) となる．
-
\((5) \xRightarrow{} (1)\)
\(A\) が正則でないと仮定して矛盾を導く．
\((2)\) の対偶をとると、\(\operatorname{rank} A \le n - 1\) つまりある基本行列 \(P_1, \cdots, P_t, \, Q_1, \cdots, Q_s\) が存在して
$$ P_t \cdots P_1 A Q_1 \cdots Q_s = {\footnotesize \begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|} & & & 0 \\ & \large E_r & & \vdots \\ & & & 0 \\ \hline 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array}\end{bmatrix}} \quad (r \le n-1) $$と書ける．この行列を \(\bm{e}_n = \tiny\begin{bmatrix}0\\\vdots\\0\\1\end{bmatrix}\) に施して
$$ P_t \cdots P_1 A Q_1 \cdots Q_s \bm{e}_n = {\scriptsize \begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|} & & & 0 \\ & \large E_r & & \vdots \\ & & & 0 \\ \hline 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array}\end{bmatrix}} \bm{e}_n = \bm{0} $$\(\bm{x} \coloneqq Q_1 \cdots Q_s \bm{e}_n\) とする．このとき
$$ \begin{align*} \bm{0} \ne \bm{e}_n = {Q_s}^{-1} \cdots {Q_1}^{-1} \bm{x} \quad &\xRightarrow{} \quad \bm{0} \ne \bm{x} \\ P_t \cdots P_1 A \bm{x} = \bm{0} \quad &\xRightarrow{} \quad A\bm{x} = {P_1}^{-1}\cdots{P_t}^{-1}\bm{0} = \bm{0} \end{align*} $$より \(A\bm{x} = \bm{0}\) かつ \(\bm{x} \ne \bm{0}\) となることが分かるが、これは \((5)\) に矛盾する．
\(n\) 次正方行列 \(A\) と \(n\) 次単位行列を並べた \(n \times 2n\) 行列 \(\begin{bmatrix} A \; | \; E_n \end{bmatrix}\) に行基本変形を施して \(\begin{bmatrix}E_n \; | \; B\end{bmatrix}\) の形になったとする．このとき \(A\) は正則で \(B = A^{-1}\)．
ある左基本行列 \(P_1, \cdots, P_t\) が存在して \(P_t \cdots P_1 \begin{bmatrix}A \; | \; E_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}E_n \; | \; B\end{bmatrix}\) となる．
これより \(A = {P_1}^{-1} \cdots {P_t}^{-1}, \, B = P_t \cdots P_1\) となり、\(AB = BA = E_n\) が成り立つ．
\(A\) を \(n\) 次正方行列とする．\(A\) が正則ならば \(A^\top\) も正則で
$$ \left(A^\top\right)^{-1} = \left(A^{-1}\right)^\top $$正則性は転置不変である．
\(A\) は正則なので
$$ \newcommand\ntsize[1]{{\footnotesize #1}} \begin{array}{} AA^{-1} &=& A^{-1}A &=& E_n \\[6pt] (AA^{-1})^\top &=& (A^{-1}A)^\top &=& {E_n}^\top \\[6pt] (A^{-1})^\top A^\top &=& A^\top (A^{-1})^\top &=& E_n \end{array} $$これは \(A^\top\) が正則で、その逆行列は \((A^{-1})^\top\) であることを示す．
\(A\) を \(l \times m\) 行列とする．このとき \(\operatorname{rank} A = \operatorname{rank} A^\top\)．
ランクは転置不変である．
\(A\) のランクを \(r\) とする．
このとき \(l\) 次正則行列 \(P\) と \(m\) 次正則行列 \(Q\) が存在して
$$ PAQ = {\footnotesize \begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|} & & & 0 \\ & \large E_r & & \vdots \\ & & & 0 \\ \hline 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array}\end{bmatrix}}_{l\times m} $$とできる．
両辺の転置をとると
$$ Q^\top A^\top P^\top = {\footnotesize \begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|} & & & 0 \\ & \large E_r & & \vdots \\ & & & 0 \\ \hline 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array}\end{bmatrix}}_{m \times l} \tag{\(*\)} $$\(P^\top, Q^\top\) は正則であるから \(P^\top, Q^\top\) は基本行列の積で書ける．
故に、\((*)\) は \(A^\top\) に基本変形を施してランク標準形になることを意味する．
以上より \(\operatorname{rank} A^\top = r = \operatorname{rank} A\)．
連立方程式 #
連立1次方程式は、拡大係数行列に行基本変形のみを施すことで解くことができる．これを掃き出し法 (ガウスの消去法) という．
\(n\) 個の変数をもつ連立1次方程式 \((*)\) が解を持つとき、係数行列を \(A\) として、解の自由度 \(d\) は
$$ d = n - \operatorname{rank} A $$となる．解は \(d\) だけパラメータを持つ．
また、拡大係数行列を \(\begin{bmatrix} A \; | \; \bm{b} \end{bmatrix}\) とすると
$$ \newcommand\ntsize[1]{{\footnotesize #1}} \begin{array}{lcl} \operatorname{rank} A = \operatorname{rank} \begin{bmatrix} A \;|\; \bm{b} \end{bmatrix} = n & \xLeftrightarrow{} & (*) \ntsize{\textsf{ はただ1組の解を持つ}} \\[6pt] \operatorname{rank} A = \operatorname{rank} \begin{bmatrix} A \;|\; \bm{b} \end{bmatrix} < n & \xLeftrightarrow{} & (*) \ntsize{\textsf{ は無数の解を持つ}} \\[6pt] \operatorname{rank} A \ne \operatorname{rank} \begin{bmatrix} A \;|\; \bm{b} \end{bmatrix} & \xLeftrightarrow{} & \ntsize{\textsf{解は存在しない}} \end{array} $$定数項ベクトル \(\bm{b} = \bm{0}\) のとき同次連立1次方程式といい、自明な解 \(\bm{x} = \bm{0}\) を常に持つ．
$$ \newcommand\ntsize[1]{{\footnotesize #1}} \begin{array}{lcl} \operatorname{rank} A = n & \xLeftrightarrow{} & (*) \ntsize{\textsf{ は自明な解のみを持つ}} \\[6pt] \operatorname{rank} A < n & \xLeftrightarrow{} & (*) \ntsize{\textsf{ は自明でない解も持つ}} \end{array} $$行列式 #
\(n\) を正整数とする．\(1 : 1\) 写像 \(\sigma : \{1,2,\cdots,n\} \to \{1,2,\cdots,n\}\) を \(1,2,\cdots,n\) の置換といい次のように書く．
$$ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \end{pmatrix} $$\(\sigma\) が \(1 : 1\) であるから \(k_1, \cdots, k_n\) は \(1, \cdots, n\) の順列であり、全部で \(n!\) 個ある．
合成写像 \(\sigma \circ \tau\) を \(\sigma\tau\)、\(\sigma\) の逆写像を \(\sigma^{-1}\) と書く．
\(S_n \coloneqq (1,2,\cdots,n\) の置換全体の集合\()\) は \(n!\) 個の元から成る．
置換 \(\sigma \in S_n\) に対し
$$ \operatorname{sgn}\sigma \coloneqq \prod_{1 \le i < j \le n} \frac{\sigma(j) - \sigma(i)}{j-i} $$と定め、これを \(\sigma\) の符号数という．
分子の積 \(\prod_{1 \le i < j \le n} (\sigma(j) - \sigma(i))\) は符号を除いて \(j - i\) の全ての積であるから \(\operatorname{sgn} \sigma = \pm 1\) である．
\(\sigma = \footnotesize \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \end{pmatrix}\) に対し、\(i < j \; \land \; \sigma(i) > \sigma(j)\) つまり符号 (大小関係) が逆転する \((i,j)\) の組の数を \(\sigma\) の転倒数という．
$$ \renewcommand\textsf[1]{\text{\sf\footnotesize #1}} \operatorname{sgn}\sigma = (-1)^{(\sigma \text{\sf{ の転倒数}})} = \begin{cases} 1 &(\textsf{転倒数が偶数}) \\ -1 &(\textsf{転倒数が奇数}) \end{cases} $$例えば
$$ \begin{align*} \operatorname{sgn}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} &= \frac{\sigma(2)-\sigma(1)}{2-1}\frac{\sigma(3)-\sigma(1)}{3-1}\frac{\sigma(3)-\sigma(2)}{3-2} \\ &= \frac{3-1}{2-1}\frac{2-1}{3-1}\frac{2-3}{3-2} \\ &= -1 \end{align*} $$\(i\) と \(j\) だけ入れ替えて他は替えない置換を次のように書き、転倒数は奇数だから \(\operatorname{sgn}(i,j) = -1\) である．
次が成り立つ．
$$ \newcommand\ntsize[1]{{\footnotesize #1}} \begin{align*} \operatorname{sgn}{\footnotesize\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ 1 & 2 & \cdots & n \end{pmatrix}} &= 1 \\ \operatorname{sgn}(i,j) &= -1 \\ \operatorname{sgn}(\sigma\tau) &= \operatorname{sgn}\sigma \operatorname{sgn}\tau &&(\ntsize{\textsf{乗法性}}) \end{align*} $$\(n\) 次正方行列 \(A = (a_{ij})\) に対して定まる数
$$ \det A \coloneqq \sum_{\sigma \in S_n} (\operatorname{sgn} \sigma) a_{1 \sigma(1)} a_{2 \sigma(2)} \cdots a_{n \sigma(n)} $$を \(A\) の行列式という．
\(a_{1 \sigma(1)} a_{2 \sigma(2)} \cdots a_{n \sigma(n)}\) は各行から1つずつ列番号が重複しないようにとった \(n\) 個の成分の積である．
3次以下の正方行列の行列式はサラスの方法で簡単に求められる．
$$ \begin{align*} \det \begin{bmatrix} a_{11} \end{bmatrix} &= a_{11} \\ \det \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} &= a_{11} a_{22} - a_{12}a_{21} \\ \det \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} &= \begin{align*} &a_{11}a_{22}a_{33} + a_{21}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} \\ &\quad - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31} \end{align*} \end{align*} $$\(m\) 次正方行列 \(B\)、\(l\) 次正方行列 \(C\) に対し
$$ \begin{align*} \det\!\begin{bmatrix}\begin{array}{c|c}B & * \\ \hline O & C \end{array}\end{bmatrix} &= \det B \det C \\ \det\!\begin{bmatrix}\begin{array}{c|c}B & O \\ \hline * & C \end{array}\end{bmatrix} &= \det B \det C \end{align*} $$\( A = \begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix} \coloneqq \begin{bmatrix}\begin{array}{c|c}B & * \\ \hline O & C \end{array}\end{bmatrix}, \, n \coloneqq m+l\) とする．
$$ \det A = \sum_{\sigma\in S_n} \underbrace{\operatorname{sgn}\sigma \, a_{1\sigma(1)} \cdots a_{m\sigma(m)} a_{m+1\sigma(m+1)} \cdots a_{m+l\sigma(m+l)}}_{(*)} $$\((*)\) において、
$$ \sigma = \begin{pmatrix} \begin{array}{c|c} \begin{matrix} \begin{matrix} 1 & \cdots & m \end{matrix} \\ \begin{array}{|c|} \hline \hphantom{\begin{matrix} 1 & \cdots & m \end{matrix}} \\ \hline \end{array} \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} m+1 & \cdots & m+l \end{matrix} \\ \begin{array}{:c:} \hdashline \hphantom{\begin{matrix} m+1 & \cdots & m+l \end{matrix}} \\ \hdashline \end{array} \end{matrix} \end{array} \end{pmatrix} $$の \(\begin{array}{:c:}\hdashline\qquad\qquad\\\hdashline\end{array}\) に \(1 \text{~--~} m\) の数が少なくとも1か所でも現れれば、\(A\) の \(m{+}1 \text{~--~} m{+}l\) 行 \(1 \text{~--~} m\) 列成分が \(0\) だから、\((*)\) は \(0\) になる．よって、\(\newcommand\ntsize[1]{{\footnotesize #1}}\sigma = \begin{pmatrix} \begin{array}{c|c} \begin{matrix} \begin{matrix} 1 & \cdots & m \end{matrix} \\ 1 \text{~--~} m \ntsize{\textsf{ の順列 }} \sigma_1 \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} m+1 & \cdots & m+l \end{matrix} \\ m{+}1 \text{~--~} m{+}l \ntsize{\textsf{ の順列 }} \sigma_2 \end{matrix} \end{array} \end{pmatrix}\) として
$$ \det A = \sum_{\sigma\in S_n} \operatorname{sgn}\sigma \, a_{1\sigma(1)} \cdots a_{m\sigma(m)} a_{m+1\sigma(m+1)} \cdots a_{m+l\sigma(m+l)} $$このとき \(\operatorname{sgn}\sigma = \operatorname{sgn}\sigma_1 \cdot \operatorname{sgn}\sigma_2\) であるから
$$ \begin{align*} \det A &= \sum_{\substack{\sigma_1 \in S_m \\ \sigma_2 \in S_l}} \operatorname{sgn}\sigma_1 \, a_{1\sigma_1(1)} \cdots a_{m\sigma_1(m)} \cdot \operatorname{sgn}\sigma_2 \, a_{m+1\sigma_2(m+1)} \cdots a_{m+l\sigma_2(m+l)} \\ &= \sum_{\sigma_1 \in S_m} \operatorname{sgn}\sigma_1 \, a_{1\sigma_1(1)} \cdots a_{m\sigma_1(m)} \left( \sum_{\sigma_2 \in S_l}\operatorname{sgn}\sigma_2 \, a_{m+1\sigma_2(m+1)} \cdots a_{m+l\sigma_2(m+l)} \right) \\ &= \left(\sum_{\sigma_1 \in S_m} \operatorname{sgn}\sigma_1 \, a_{1\sigma_1(1)} \cdots a_{m\sigma_1(m)}\right) \det C \\ &= \det B \det C \end{align*} $$特に \(m=1\) の場合は
$$ \begin{align*} \det\!{\footnotesize\begin{bmatrix}\begin{array}{c|} \normalsize a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ \hline \\ \normalsize * & & \large C \\ \\ \end{array}\end{bmatrix}} &= a_{11} \det C \\ \det\!{\footnotesize\begin{bmatrix}\begin{array}{c|} \normalsize a_{11} & & \normalsize * & \\ \hline 0 \\ \vdots & & \large C \\ 0 \\ \end{array}\end{bmatrix}} &= a_{11} \det C \end{align*} $$三角行列の行列式は対角成分の積となる．
$$ \begin{align*} \det\!{\footnotesize\begin{bmatrix} a_{11} & & \normalsize * \\ & \ddots \\ 0 & & a_{nn} \end{bmatrix}} &= a_{11} \cdots a_{nn} \\ \det\!{\footnotesize\begin{bmatrix} a_{11} & & 0 \\ & \ddots \\ \normalsize * & & a_{nn} \end{bmatrix}} &= a_{11} \cdots a_{nn} \end{align*} $$特に \( \det E_n = 1 \) となる．
行列式には
-
転置不変性
$$ \det A^\top = \det A $$ -
交代性
$$ \det{\small\begin{bmatrix} \overrightarrow{a}_1 \\ \vdots \\ \overrightarrow{a}_k \\ \vdots \\ \overrightarrow{a}_l \\ \vdots \\ \overrightarrow{a}_n \end{bmatrix}} = (-1)\det{\small\begin{bmatrix} \overrightarrow{a}_1 \\ \vdots \\ \overrightarrow{a}_l \\ \vdots \\ \overrightarrow{a}_k \\ \vdots \\ \overrightarrow{a}_n \end{bmatrix}} $$ -
多重線形性
$$ \det\begin{bmatrix} \overrightarrow{a}_1 \\ \vdots \\ \alpha\overrightarrow{a}_k + \beta\overrightarrow{a}_k^\prime \\ \vdots \\ \overrightarrow{a}_n \end{bmatrix} = \alpha\det\begin{bmatrix} \overrightarrow{a}_1 \\ \vdots \\ \overrightarrow{a}_k \\ \vdots \\ \overrightarrow{a}_n \end{bmatrix} + \beta\det\begin{bmatrix} \overrightarrow{a}_1 \\ \vdots \\ \overrightarrow{a}_k^\prime \\ \vdots \\ \overrightarrow{a}_n \end{bmatrix} $$
が成り立つ．
これらは
- \(\operatorname{sgn}\sigma \operatorname{sgn}\sigma^{-1} = \operatorname{sgn}\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\1&2&\cdots&n\end{pmatrix} = 1\) より \(\operatorname{sgn}\sigma = \operatorname{sgn}\sigma^{-1}\)
- \(\operatorname{sgn}\left(\sigma\cdot(k,l)\right) = \operatorname{sgn}\sigma \operatorname{sgn}(k,l) = (-1)\operatorname{sgn}\sigma\)
- 分配法則
が根拠となる．
次のような重要な性質がある．
$$ \det{\small\begin{bmatrix} \bm{a}_1 \\ \vdots \\ \bm{x} \\ \vdots \\ \bm{x} \\ \vdots \\ \bm{a}_n \end{bmatrix}} = 0, \quad \det{\small\begin{bmatrix} \bm{a}_1 \\ \vdots \\ \bm{a}_k + \alpha\bm{a}_l \\ \vdots \\ \bm{a}_l \\ \vdots \\ \bm{a}_n \end{bmatrix}} = \det{\small\begin{bmatrix} \bm{a}_1 \\ \vdots \\ \bm{a}_k \\ \vdots \\ \bm{a}_l \\ \vdots \\ \bm{a}_n \end{bmatrix}}, \quad \det\begin{bmatrix} \bm{a}_1 \\ \vdots \\ c\bm{a}_k \\ \vdots \\ \bm{a}_n \end{bmatrix} = c \det\begin{bmatrix} \bm{a}_1 \\ \vdots \\ \bm{a}_k \\ \vdots \\ \bm{a}_n \end{bmatrix} $$| 基本変形 | 行列式の変化 |
|---|---|
| \(k\) 行 \(\leftrightarrow\) \(l\) 行 \(k\) 列 \(\leftrightarrow\) \(l\) 列 |
\(-1\) 倍 |
| \(k\) 行 \(\times c_{\ne 0}\) \(k\) 列 \(\times c_{\ne 0}\) |
\(c\) 倍 |
| \(k\) 行 \(+\) \(l\) 行 \(\times \alpha\) \(k\) 列 \(+\) \(l\) 列 \(\times \alpha\) |
不変 |
交代性より
$$ \det{\small\begin{bmatrix} \bm{a}_1 \\ \vdots \\ \begin{array}{|c|}\hline\bm{x}\\\hline\end{array} \\ \vdots \\ \begin{array}{:c:}\hdashline\bm{x}\\\hdashline\end{array} \\ \vdots \\ \bm{a}_n \end{bmatrix}} = (-1)\det{\small\begin{bmatrix} \bm{a}_1 \\ \vdots \\ \begin{array}{:c:}\hdashline\bm{x}\\\hdashline\end{array} \\ \vdots \\ \begin{array}{|c|}\hline\bm{x}\\\hline\end{array} \\ \vdots \\ \bm{a}_n \end{bmatrix}} \quad \therefore \quad \det{\small\begin{bmatrix} \bm{a}_1 \\ \vdots \\ \bm{x} \\ \vdots \\ \bm{x} \\ \vdots \\ \bm{a}_n \end{bmatrix}} = 0 $$これと多重線形性より
$$ \det{\small\begin{bmatrix} \bm{a}_1 \\ \vdots \\ \bm{a}_k + \alpha\bm{a}_l \\ \vdots \\ \bm{a}_l \\ \vdots \\ \bm{a}_n \end{bmatrix}} = \det{\small\begin{bmatrix} \bm{a}_1 \\ \vdots \\ \bm{a}_k \\ \vdots \\ \bm{a}_l \\ \vdots \\ \bm{a}_n \end{bmatrix}} + \alpha\det{\small\begin{bmatrix} \bm{a}_1 \\ \vdots \\ \bm{a}_l \\ \vdots \\ \bm{a}_l \\ \vdots \\ \bm{a}_n \end{bmatrix}} = \det{\small\begin{bmatrix} \bm{a}_1 \\ \vdots \\ \bm{a}_k \\ \vdots \\ \bm{a}_l \\ \vdots \\ \bm{a}_n \end{bmatrix}} $$行列式には乗法性がある．
$$ \det (AB) = \det A \det B $$\(A \coloneqq \begin{bmatrix} \bm{a}_1 & \cdots & \bm{a}_n \end{bmatrix}, \; B \coloneqq \begin{bmatrix} b_{ij} \end{bmatrix} \) とおく．両者 \(n\) 次正方行列である．
$$ \begin{align*} \det (AB) &= \det\begin{bmatrix} \displaystyle\sum_{j_1 = 1}^n \bm{a}_{j_1}b_{j_1 1} & \displaystyle\sum_{j_2 = 1}^n \bm{a}_{j_2}b_{j_2 2} & \cdots & \displaystyle\sum_{j_n = 1}^n \bm{a}_{j_n}b_{j_n n} \end{bmatrix} \\ &= \sum_{j_1 = 1}^n b_{j_1 1} \det \begin{bmatrix} \bm{a}_{j_1} & \displaystyle\sum_{j_2 = 1}^n \bm{a}_{j_2}b_{j_2 2} & \cdots & \displaystyle\sum_{j_n = 1}^n \bm{a}_{j_n}b_{j_n n} \end{bmatrix} \\ &= \sum_{j_1 = 1}^n \sum_{j_2 = 1}^n b_{j_1 1} b_{j_2 2} \det \begin{bmatrix} \bm{a}_{j_1} & \bm{a}_{j_2} & \cdots & \displaystyle\sum_{j_n = 1}^n \bm{a}_{j_n}b_{j_n n} \end{bmatrix} \\ &= \sum_{j_1 = 1}^n \sum_{j_2 = 1}^n \cdots \sum_{j_n = 1}^n \underbrace{b_{j_1 1} b_{j_2 2} \cdots b_{j_n n} \det \begin{bmatrix} \bm{a}_{j_1} & \bm{a}_{j_2} & \cdots & \bm{a}_{j_n} \end{bmatrix}}_{(*)} \end{align*} $$\((*)\) の各項について \(j_i\) に同じものがあれば \(\det\begin{bmatrix} \bm{a}_{j_1} & \cdots & \bm{a}_{j_n} \end{bmatrix} = 0\) となるから、\(j_i\) が全て異なる項を足せばよい．このとき \(\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ j_1 & j_2 & \cdots & j_n \end{pmatrix} \in S_n\) なので
$$ \begin{align*} \det(AB) &= \sum_{\sigma\in S_n} b_{\sigma(1)1} b_{\sigma(2)2} \cdots b_{\sigma(n)n} \det \begin{bmatrix} \bm{a}_{\sigma(1)} & \bm{a}_{\sigma(2)} & \cdots & \bm{a}_{\sigma(n)} \end{bmatrix} \\ &= \sum_{\sigma\in S_n} b_{\sigma(1)1} b_{\sigma(2)2} \cdots b_{\sigma(n)n} (-1)^{\textsf{転倒数}} \det\underbrace{\begin{bmatrix} \bm{a}_1 & \bm{a}_2 & \cdots & \bm{a}_n \end{bmatrix}}_{(\textsf{転倒数})\textsf{回入れ替えた}} \\ &= \sum_{\sigma\in S_n} b_{\sigma(1)1} b_{\sigma(2)2} \cdots b_{\sigma(n)n} \operatorname{sgn}\sigma \det A \\ &= \det A \sum_{\sigma\in S_n} \operatorname{sgn}\sigma b_{\sigma(1)1} b_{\sigma(2)2} \cdots b_{\sigma(n)n} \\ &= \det A \det B^\top \\ &= \det A \det B \end{align*} $$これより、可換性がある．
$$ \det(AB) = \det A \det B = \det B \det A = \det(BA) $$更に、共役不変性がある．
$$ \det(P^{-1}AP) = \det(APP^{-1}) = \det A $$余因子展開 #
\(n\) 次正方行列 \(A = \begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix} = \small\begin{bmatrix} B_{11} & \vdots & B_{12} \\ \cdots & a_{ij} & \cdots \\ B_{21} & \vdots & B_{22} \end{bmatrix}\) から \(i\) 行と \(j\) 列を取り除いて得られる \((n{-}1){\times}(n{-}1)\) 行列 \(\small\begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{bmatrix}\) に対して
$$ \widetilde{a}_{ij} \coloneqq (-1)^{i+j} \det \small\begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{bmatrix} $$を \(A\) の \((i,j)\) 余因子という．
次が成り立つ．
-
\(i\) 行に関する余因子展開
$$ \det A = \sum_{j=1}^n a_{ij} \widetilde{a}_{ij} $$ -
\(j\) 列に関する余因子展開
$$ \det A = \sum_{i=1}^n a_{ij} \widetilde{a}_{ij} $$
\(i\) 行 \(\displaystyle \begin{bmatrix} a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \end{bmatrix} = \sum_{j=1}^n a_{ij} \underset{j}{\begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}}\) に多重線形性を用いて
$$ \begin{align*} \det A = a_{i1} \det {\small \begin{bmatrix} B_1 \\ \scriptsize\begin{matrix} 1 & 0 \cdots 0 \end{matrix} \\ B_2 \end{bmatrix}} + \cdots + a_{ij} \det {\small \begin{bmatrix} B_1 \\ \scriptsize\begin{matrix} 0 \cdots 0 & 1 & 0 \cdots 0 \end{matrix} \\ B_2 \end{bmatrix}} + \cdots + a_{in} \det {\small \begin{bmatrix} B_1 \\ \scriptsize\begin{matrix} 0 \cdots 0 & 1 \end{matrix} \\ B_2 \end{bmatrix}} \end{align*} $$ここで第 \(j\) 項について
$$ \begin{align*} \det {\small \begin{bmatrix} B_1 \\ \scriptsize\begin{matrix} 0 \cdots 0 & 1 & 0 \cdots 0 \end{matrix} \\ B_2 \end{bmatrix}} &= \det {\small \begin{bmatrix} B_{11} & * & B_{12} \\ \scriptsize 0 \cdots 0 & 1 & \scriptsize 0 \cdots 0 \\ B_{21} & * & B_{22} \end{bmatrix} } \\ &= (-1)^{i-1} \det {\small \begin{bmatrix} \scriptsize 0 \cdots 0 & 1 & \scriptsize 0 \cdots 0 \\ B_{11} & * & B_{12} \\ B_{21} & * & B_{22} \end{bmatrix} } \\ &= (-1)^{i-1}(-1)^{j-1} \det {\small \begin{bmatrix} 1 & \scriptsize 0 \cdots 0 & \scriptsize 0 \cdots 0 \\ * & B_{11} & B_{12} \\ * & B_{21} & B_{22} \end{bmatrix} } \\ &= (-1)^{i+j}(-1)^{-2} \cdot 1 \cdot \det {\small\begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{bmatrix}} \\ &= \widetilde{a}_{ij} \end{align*} $$したがって
$$ \det A = a_{i1}\widetilde{a}_{i1} + \cdots + a_{ij}\widetilde{a}_{ij} + \cdots + a_{in}\widetilde{a}_{in} $$逆行列 #
\(n\) 次正方行列 \(A = \begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix}\) に対し
$$ \widetilde{A} = \begin{bmatrix} \widetilde{a}_{ij} \end{bmatrix}^\top = \begin{bmatrix} \widetilde{a}_{ji} \end{bmatrix} = {\small \begin{bmatrix} \widetilde{a}_{11} & \widetilde{a}_{21} & \cdots & \widetilde{a}_{n1} \\ \widetilde{a}_{12} & \widetilde{a}_{22} & \cdots & \widetilde{a}_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \widetilde{a}_{1n} & \widetilde{a}_{2n} & \cdots & \widetilde{a}_{nn}\end{bmatrix}} $$を \(A\) の余因子展開という．
$$ \newcommand\ntsize[1]{{\footnotesize #1}} A \ntsize{\textsf{ が正則}} \quad \xLeftrightarrow{} \quad \det A \ne 0 $$であり、このとき \(\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{\det A} \widetilde{A}\) となる．
-
\(\xRightarrow{}\)
正則行列 \(A\) は逆行列 \(A^{-1}\) をもち、\(AA^{-1} = E_n\) であるから
$$ \det A \det A^{-1} = \det (AA^{-1}) = \det E_n = 1 \ne 0 \quad \therefore \quad \det A \ne 0 $$ -
\(\xLeftarrow{}\)
\(\overrightarrow{x} = \begin{bmatrix} x_{i1} & x_{i2} & \cdots & x_{in} \end{bmatrix}\) とおき、\(F(\overrightarrow{x}) = x_{i1}\widetilde{a}_{i1} + x_{i2}\widetilde{a}_{i2} + \cdots + x_{in}\widetilde{a}_{in}\) と定める．
\(i\) 行での余因子展開より
$$ F(\overrightarrow{x}) = \det {\footnotesize \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{i1} & x_{i2} & \cdots & x_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}} $$行列式の \(i\) 行目に \(\overrightarrow{a}_i = \begin{bmatrix} a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \end{bmatrix}\) を代入すると
$$ F(\overrightarrow{a}_i) = \det A $$一方で \(\overrightarrow{a}_j = \begin{bmatrix} a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \end{bmatrix} \; (j \ne i)\) を代入すると、\(i\) 行と \(j\) 行が共に \(\overrightarrow{a}_j\) となり
$$ F(\overrightarrow{a}_j) = 0 $$したがって
$$ \newcommand\ntsize[1]{{\footnotesize #1}} \begin{align*} A\widetilde{A} \ntsize{\textsf{ の }} (j,i) \ntsize{\textsf{ 成分}} &= a_{j1}\widetilde{a}_{i1} + a_{j2}\widetilde{a}_{i2} + \cdots + a_{jn}\widetilde{a}_{in} \\ &= F(\overrightarrow{a}_j) = \begin{cases} \det A &(j = i) \\ 0 &(j \ne i) \end{cases} \\ \therefore \quad A\widetilde{A} &= (\det A) E_n \end{align*} $$同様に \(\bm{x} = \small \begin{bmatrix} x_{1j} \\ x_{2j} \\ \vdots \\ x_{nj} \end{bmatrix}\) とおき、\(G(\bm{x}) = \widetilde{a}_{1j}x_{1j} + \widetilde{a}_{2j}x_{2j} + \cdots + \widetilde{a}_{nj}x_{nj}\) と定め
$$ \newcommand\ntsize[1]{{\footnotesize #1}} \begin{align*} \widetilde{A}A \ntsize{\textsf{ の }} (j,i) \ntsize{\textsf{ 成分}} &= \widetilde{a}_{1j}a_{1i} + \widetilde{a}_{2j}a_{2i} + \cdots + \widetilde{a}_{nj}a_{ni} \\ &= G(\bm{a}_i) = \begin{cases} \det A &(i=j) \\ 0 &(i \ne j) \end{cases} \\ \therefore \quad \widetilde{A}A &= (\det A)E_n \end{align*} $$以上より \(A\widetilde{A} = \widetilde{A}A = (\det A)E_n\)．
よって \(\det A \ne 0\) ならば \(\displaystyle A\left( \frac{1}{\det A} \widetilde{A} \right) = \left( \frac{1}{\det A} \widetilde{A} \right) A = E_n\)．
つまり \(A\) は正則で \(\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{\det A} \widetilde{A}\)．
\(n\) 次正方行列 \(A\) に対し
$$ \newcommand\ntsize[1]{{\footnotesize #1}} A\bm{x} = \bm{0} \ntsize{\textsf{ なる }} \bm{x} (\ne \bm{0}) \ntsize{\textsf{ が存在する}} \quad \xLeftrightarrow{} \quad \det A = 0 $$行列の基本変形とランク を参照．
$$ \newcommand\ntsize[1]{{\footnotesize #1}} A\bm{x} = \bm{0} \ntsize{\textsf{ なる }} \bm{x} \ntsize{\textsf{ は }} \bm{0} \ntsize{\textsf{ のみ}} \quad \xLeftrightarrow{} \quad A \ntsize{\textsf{ は正則}} \quad \xLeftrightarrow{} \quad \det A \ne 0 $$対偶をとれば示される．
クラメルの公式 #
\(A\) が正則のとき、連立1次方程式 \(A\bm{x} = \bm{b}\) の解は
$$ x_i = \frac{1}{\det A} \det \underset{i}{\small \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & b_1 & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{1n} & \cdots & b_n & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}} $$\(\bm{b} = A\bm{x} = \begin{bmatrix} \bm{a}_1 & \cdots & \bm{a}_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = x_1\bm{a}_1 + \cdots + x_n\bm{a}_n\) より、多重線形性を用いて
$$ \begin{align*} \det \begin{bmatrix} \bm{a}_1 & \cdots & \bm{b} & \cdots & \bm{a}_n \end{bmatrix} &= \det \begin{bmatrix} \bm{a}_1 & \cdots & (x_1\bm{a}_1 + \cdots + x_n\bm{a}_n) & \cdots & \bm{a}_n \end{bmatrix} \\ &= x_1 \det \begin{bmatrix} \bm{a}_1 & \cdots & \bm{a}_1 & \cdots & \bm{a}_n \end{bmatrix} \\ &\hphantom{{}={}}+\cdots + x_i \det \begin{bmatrix} \bm{a}_1 & \cdots & \bm{a}_i & \cdots & \bm{a}_n \end{bmatrix} \\ &\hphantom{{}={}}+\cdots + x_n \det \begin{bmatrix} \bm{a}_1 & \cdots & \bm{a}_n & \cdots & \bm{a}_n \end{bmatrix} \\ &= x_i \det \begin{bmatrix} \bm{a}_1 & \cdots & \bm{a}_i & \cdots & \bm{a}_n \end{bmatrix} \\ &= x_i \det A \\ \therefore \quad x_i &= \frac{1}{\det A} \det \underset{i}{\begin{bmatrix} \bm{a}_1 & \cdots & \bm{b} & \cdots & \bm{a}_n \end{bmatrix}} \end{align*} $$Vandermonde の行列式 #
$$ \det{\footnotesize\begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ {x_1}^2 & {x_2}^2 & \cdots & {x_n}^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {x_1}^{n-1} & {x_2}^{n-1} & \cdots & {x_n}^{n-1} \end{bmatrix}} = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i) $$\(n = 2\) のとき
$$ \newcommand\ntsize[1]{{\footnotesize #1}} (\ntsize{\textsf{左辺}}) = \det\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ x_1 & x_2 \end{bmatrix} = x_2 - x_1 = (\ntsize{\textsf{右辺}}) $$より成立．
\(n = 3\) のとき
$$ \newcommand\ntsize[1]{{\footnotesize #1}} \begin{align*} (\ntsize{\textsf{左辺}}) &= \det{\small\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ {x_1}^2 & {x_2}^2 & {x_3}^2 \end{bmatrix}} \\ &= \det{\small\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x_2 - x_1 & x_3 - x_1 \\ 0 & (x_2-x_1)x_2 & (x_3 - x_1)x_3 \end{bmatrix}} \\ &= \det{\small\begin{bmatrix} x_2 - x_1 & x_3 - x_1 \\ (x_2-x_1)x_2 & (x_3 - x_1)x_3\end{bmatrix}} \\ &= (x_2-x_1)(x_3-x_1)\det{\small\begin{bmatrix}1 & 1 \\ x_2 & x_3 \end{bmatrix}} \\ &= (x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2)\\ &= (\ntsize{\textsf{右辺}}) \end{align*} $$\(n - 1\) のときまで成立すると仮定する．
\(n\) のとき
$$ \newcommand\ntsize[1]{{\footnotesize #1}} \begin{align*} (\ntsize{\textsf{左辺}}) &= \det {\footnotesize\begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & x_2 - x_1 & \cdots & x_n - x_1 \\ 0 & (x_2 - x_1)x_2 & \cdots & (x_n - x_1)x_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & (x_2 - x_1){x_2}^{n-2} & \cdots & (x_n - x_1){x_n}^{n-2} \end{bmatrix}} &&\ntsize{\textsf{上の行の }} x_1 \ntsize{\textsf{倍を引く}} \\ &= \det{\footnotesize\begin{bmatrix} x_2 - x_1 & \cdots & x_n - x_1 \\ (x_2 - x_1)x_2 & \cdots & (x_n - x_1)x_n \\ \vdots & & \vdots \\ (x_2 - x_1){x_2}^{n-2} & \cdots & (x_n - x_1){x_n}^{n-2} \end{bmatrix}} \\ &= (x_2-x_1)\cdots(x_n-x_1) \det \footnotesize\begin{bmatrix} 1 & \cdots & 1 \\ x_2 & \cdots & x_n \\ \vdots & & \vdots \\ {x_2}^{n-2} & \cdots & {x_n}^{n-2} \end{bmatrix} \\ &= (x_2-x_1)\cdots(x_n-x_1) \prod_{2\le i < j \le n} (x_j - x_i) &&\because\;\ntsize{\textsf{仮定}} \\ &= \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i) \\ &= (\ntsize{\textsf{右辺}}) \end{align*} $$より成立．