高専3年生の「微分積分」で学習した常微分方程式のまとめである．
| 記号 | 意味 |
|---|---|
| \(\forall\) | 任意の～に対して、全ての～に対して |
| \(\exist\) | ある～が存在して、少なくとも1つ～が存在して |
| \(\text{s.t.}\) | such that |
| \(\coloneqq\) | 左辺を右辺の通りにおく |
| \(\eqqcolon\) | 右辺を左辺の通りにおく |
| \(\text{Const.}\) | 定数 |
| \(\dbinom{n}{i}\) | \({}_n \! {\rm C}_i\) |
| \(\operatorname{S}(x)\) | \(x\) の面積 |
| \(\operatorname{abs}\) | 絶対値 |
| \(\land\) | かつ |
| \(\lor\) | または |
任意定数を含んだ解を一般解という．初期条件によって定まる解を特殊解という．
変数分離形 #
$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f(x)g(y) $$変数を分離し、両辺を積分することで解くことができる．
$$ \int \frac{1}{g(y)} \,\mathrm{d}y = \int f(x) \,\mathrm{d}x $$\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{(x-1)y}{(y+1)x}\)
\(y = 0\) は解である．
\(y \ne 0\) のとき
$$ \begin{align*} \frac{y+1}{y}\,\mathrm{d}y &= \frac{x-1}{x}\,\mathrm{d}x \\ \int\! \left(1 + \frac{1}{y}\right)\mathrm{d}y &= \int\! \left(1 - \frac{1}{x}\right)\mathrm{d}x \\ y + \ln|y| &= x - \ln|x| + C_1 \\ \ln|xy|+y-x &= C_1 \\ \ln|xy{\rm e}^{y-x}| &= C_1 \\ xy{\rm e}^{y-x} &= \pm{\rm e} C_1 \\ xy{\rm e}^{y-x} &= C \end{align*} $$\(y = 0\) のとき \(C = 0\) である．
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = (1-y)(1+y)\)
\(y = \pm 1\) は解である．
\(y \ne \pm 1\) のとき
$$ \begin{align*} \frac{1}{(1-y)(1+y)}\,\mathrm{d}y &= \mathrm{d}x \\ \int\frac{1}{2}\left( \frac{1}{1-y} + \frac{1}{1+y} \right)\mathrm{d}y &= \int\mathrm{d}x \\ \frac{1}{2}\left(-\ln|1-y| + \ln|1+y|\right) &= x + C_1 \\ \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+y}{1-y}\right| &= x + C_1 \\ \frac{1+y}{1-y} &= \pm {\rm e}^{2x+2C_1} \\ &= C{\rm e}^{2x} \\ 1+y &= C{\rm e}^{2x}(1-y) \\ y &= \frac{C{\rm e}^{2x}-1}{C{\rm e}^{2x}+1} \end{align*} $$\(y=-1\) のとき \(C = 0\)、\(y = 1\) のとき \(C = \infty\) である．
$$ \newcommand\ntsize[1]{{\footnotesize #1}} \begin{align*} m\frac{{\rm d}v}{{\rm d}t} &= mg - kv &&(\ntsize{\textsf{運動方程式}}) \\ \frac{{\rm d}v}{{\rm d}t} &= g - \frac{k}{m}v \\ &= g - k_0 v &&k_0 \coloneqq \frac{k}{m} \\ \int\frac{1}{g-k_0v}\,{\rm d}v &= \int {\rm d}t \\ -\frac{1}{k_0}\ln|g-k_0 v| &= t + C_1 \\ \ln|g-k_0v| &= -k_0(t+C_1) \\ g-k_0v &= \pm {\rm e}^{-k_0t-k_0C_1} \\ &= C{\rm e}^{-k_0t} \\ -k_0v &= -g + C{\rm e}^{-k_0t} \\ v &= \frac{g}{k_0} - \frac{C}{k_0}{\rm e}^{-k_0t} \end{align*} $$大気中で質量 \(m\) の物体が速さ \(v = v(t)\) に比例する空気抵抗 (比例定数 \(k>0\) ) を受けて落下するものとする．\(t\) 秒後の物体の速度 \(v(t)\) を求めよ．ただし \(v(0) = 0\) とし、重力加速度の大きさは \(g\) で表すものとする．
初期条件より
$$ \begin{align*} 0 &= \frac{g}{k_0} - \frac{C}{k_0} \\ C &= g \end{align*} $$よって
$$ v = \frac{g}{k_0} - \frac{g}{k_0}{\rm e}^{-k_0t} = \frac{mg}{k}\bigg(1-{\rm e}^{\displaystyle\scriptsize -\frac{k}{m}t}\bigg) $$$$ \begin{align*} \frac{{\rm d}n}{{\rm d}t} &= kn(M-n) \\ \int\frac{1}{n(M-n)}\,{\rm d}n &= k \int {\rm d} t \\ \int\frac{1}{M}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{M-n}\right) {\rm d}n &= k \int {\rm d}t \\ \frac{1}{M}(\ln |n| - \ln|M-n|) &= kt + C_1 \\ \ln\left|\frac{n}{M-n}\right| &= kMt + C_2 \\ \frac{n}{M-n} &= \pm {\rm e}^{kMt+C_2} \\ &= C{\rm e}^{kMt} \\ n &= (M-n)C{\rm e}^{kMt} \\ n(1+C{\rm e}^{kMt}) &= CM{\rm e}^{kMt} \\ n &= \frac{CM{\rm e}^{kMt}}{1+C{\rm e}^{kMt}} \\ &= \frac{CM}{{\rm e}^{-kMt} + C} \end{align*} $$ある年は全部で \(M\) 人がインフルエンザに感染した．時刻 \(t\) までの感染者数を \(n\) とすると、\(n\) の \(t\) に関する変化の割合は、\(n(M-n)\) に比例している．比例定数を \(k>0\) として、\(n\) に関する微分方程式を作れ．また \(t = 0\) において \(\displaystyle n = \frac{1}{3}M\) となる特殊解を求めよ．
初期条件より
$$ \begin{align*} \frac{1}{3}M &= \frac{CM}{1+C} \\ 1+C &= 3C \\ C &= \frac{1}{2} \end{align*} $$よって
$$ n = \frac{\displaystyle \frac{1}{2}M}{\displaystyle {\rm e}^{-kMt} + \frac{1}{2}} = \frac{M}{2{\rm e}^{-kMt}+1} $$$$ \begin{align*} \frac{{\rm d}N}{{\rm d}t} &= -kN \\ \int \frac{1}{N} \, {\rm d} N &= -k \int {\rm d} t \\ \ln |N| &= -kt + C_1 \\ N &= \pm {\rm e}^{-kt+C_1} = C_2 {\rm e}^{-kt} \end{align*} $$放射性同位元素 \(\ce{{}^{14}C}\) は放射線を出して崩壊し、窒素になる．時刻 \(t\) における \(\ce{{}^{14}C}\) の原子の個数を \(N\) とするとき、次式が成り立つ．
$$ \frac{{\rm d}N}{{\rm d}t} = -kN $$ただし \(k>0\) は定数である．このとき \(N\) の一般解を求めよ．また \(\ce{{}^{14}C}\) の半減期が \(5730\) 年であることを使って、\(\newcommand\ntsize[1]{{\footnotesize #1}}k \;[\ntsize{\textsf{個}}/\ntsize{\textsf{年}}]\) の値を求めよ．
\(t=0\) のとき \(N=N_0\) とすると
$$ N_0 = C_2 $$\(t = 5730\) のとき \(\displaystyle N = \frac{1}{2} N_0\) だから
$$ \newcommand\ntsize[1]{{\footnotesize #1}} \begin{align*} \frac{1}{2}N_0 &= N_0{\rm e}^{-5730k} \\ \ln\frac{1}{2} &= -5730k \\ \ln 2 &= 5730k \\ k &= \frac{\ln 2}{5730}\;[\ntsize{\textsf{個}}/\ntsize{\textsf{年}}] \end{align*} $$$$ \begin{align*} \frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} &= ky(1-y) \\ \int\frac{1}{y(1-y)}\,{\rm d}y &= k \int {\rm d} t \\ \int\!\left(\frac{1}{y} + \frac{1}{1-y} \right)\,{\rm d}y &= k \int {\rm d} t \\ \ln|y| - \ln|1-y| &= kt + C_1 \\ \ln\left| \frac{y}{1-y} \right| &= kt + C_1 \\ \frac{y}{1-y} &= \pm {\rm e}^{kt + C_1 } = C{\rm e}^{kt} \\ y &= (1-y)C{\rm e}^{kt} \\ y(1+C{\rm e}^{kt}) &= C{\rm e}^{kt} \\ y &= \frac{C{\rm e}^{kt}}{1+C{\rm e}^{kt}} = \frac{C}{{\rm e}^{-kt} + C} \end{align*} $$ある商品の時刻 \(t\) における普及率を \(y \in [0,1]\) とする．\(y\) の \(t\) に関する変化の割合が \(y(1-y)\) に比例するとき、比例定数を \(k>0\) として、\(y\) に関する微分方程式を作れ．また、\(t=0\) において \(y=0.25\) となる特殊解を求めよ．
初期条件より
$$ \begin{align*} \frac{1}{4} &= \frac{C}{1 + C} \\ 4 &= \frac{1}{C} + 1 \\ C &= \frac{1}{3} \end{align*} $$よって
$$ y = \frac{\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle {\rm e}^{-kt} + \frac{1}{3}} = \frac{1}{3{\rm e}^{-kt} + 1} $$同次形 #
$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f\!\left(\frac{y}{x}\right) $$\(\displaystyle u \coloneqq \frac{y}{x}\) とし、変数分離形に帰着することで解くことができる．
$$ u + x \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = f(u) $$\(\displaystyle (7x + 3y) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -9x - 5y\)
\(x \ne 0\) のとき
$$ \begin{align*} \left( 7 + 3 \frac{y}{x} \right)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= -9 - 5\frac{y}{x} \\ (7 + 3u)\left( u + x \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \right) &= -9 - 5u && u \coloneqq \frac{y}{x} \\ x \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} &= \frac{-9-5u-u(7+3u)}{7+3u} \\ &= -\frac{3u^2 +12u+9}{7+3u} \\ &= -3\frac{u^2+4u+3}{7+3u} \\ &= -3\frac{(u+1)(u+3)}{7+3u} \\ \int\frac{7+3u}{(u+1)(u+3)} \,\mathrm{d}u &= -3\int\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x \\ \int\!\left(\frac{2}{u+1}+\frac{1}{u+3}\right)\mathrm{d}u &= -3\int\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x \\ 2\ln|u+1| + \ln|u+3| &= -3 \ln|x|+C_1 \\ \ln|(u+1)^2(u+3)x^3| &= C_1 \\ (u+1)^2(u+3)x^3 &= \pm {\rm e}^{C_1} \\ (u+1)^2(u+3)x^3 &= C \\ \left( \frac{y}{x} + 1 \right)^2\left( \frac{y}{x} + 3 \right)x^3 &= C \\ \left\{\left( \frac{y}{x} + 1 \right)x\right\}^2\left\{\left( \frac{y}{x} + 3 \right)x\right\} &= C \\ (y + x)^2(y+3x) &= C \end{align*} $$\(x = 0\) でも定義される．
1階線形 #
$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + p(x)y = q(x) $$\(q(x) = 0\) のとき斉次、\(q(x) \ne 0\) のとき非斉次という．
\(y^\prime + p(x)y = q(x)\) から \(\alpha^\prime + p(x)\alpha = q(x)\) を辺々引くと
$$ (y-\alpha)^\prime + p(x)(y-\alpha) = 0 $$\(Y \coloneqq y - \alpha\) とすると
$$ Y^\prime + p(x)Y = 0 $$という斉次方程式となる．これを解くと
$$ \begin{align*} \frac{{\rm d}Y}{{\rm d}x} &= -p(x)Y \\ \int \frac{1}{Y} \, {\rm d}Y &= - \int p(x) \, {\rm d}x \\ \ln|Y| &= - \int p(x) \,{\rm d}x + C_1 \\ Y &= \pm {\rm e}^{\displaystyle\scriptsize-\int p(x)\,{{\rm d}x} + C_1} \\ &= C {\rm e}^{\displaystyle\scriptsize-\int p(x)\,{{\rm d}x}} \\ y &= C {\rm e}^{\displaystyle\scriptsize-\int p(x)\,{{\rm d}x}} + \alpha(x) \end{align*} $$定数変化法を用いることで解くことができる．
- 斉次方程式 \(\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + p(x)y = 0\) の一般解を求める．
- 任意定数 \(C\) を \(x\) の関数 \(C(x)\) に変化させて、元の非斉次方程式の一般解を求める．
斉次1階線形微分方程式は変数分離形である．これを解くと
$$ \begin{align*} \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} + p(x)y &= 0 \\ \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} &= -p(x)y \\ \int\frac{1}{y}\,{{\rm d}y} &= - \int p(x)\, {{\rm d}x} \\ \ln|y| &= -\int p(x)\,{{\rm d}x} + C_1 \\ y &= \pm {\rm e}^{\displaystyle\scriptsize-\int p(x)\,{{\rm d}x} + C_1} \\ &= C_2{\rm e}^{\displaystyle\scriptsize-\int p(x)\,{{\rm d}x}} \end{align*} $$この斉次方程式の一般解を、定数 \(C_2\) を関数 \(C_2(x)\) に変化させて、元の非斉次方程式に代入して特殊解の1つを求める．
$$ \begin{align*} \frac{{\rm d}C_2(x)}{{\rm d}x}{\rm e}^{\displaystyle\scriptsize-\int p(x)\,{{\rm d}x}} + C_2(x)\left(-p(x){\rm e}^{\displaystyle\scriptsize-\int p(x)\,{{\rm d}x}}\right) \\ {}+ p(x)C_2(x){\rm e}^{\displaystyle\scriptsize-\int p(x)\,{{\rm d}x}} &= q(x) \\ \frac{{\rm d}C_2(x)}{{\rm d}x} &= q(x){\rm e}^{\displaystyle\scriptsize\int p(x)\,{{\rm d}x}} \\ C_2(x) &= \int q(x){\rm e}^{\displaystyle\scriptsize\int p(x)\,{{\rm d}x}} {\rm d}x\\ \end{align*} \\ \therefore \quad y = \left( \int q(x){\rm e}^{\displaystyle\scriptsize\int p(x)\,{{\rm d}x}} {\rm d}x \right){\rm e}^{\displaystyle\scriptsize-\int p(x)\,{{\rm d}x}} $$特殊解 \(\alpha(x)\) が既知であるときの解法を用いて
$$ \begin{align*} y &= C {\rm e}^{\displaystyle\scriptsize-\int p(x)\,{{\rm d}x}} + \left( \int q(x){\rm e}^{\displaystyle\scriptsize\int p(x)\,{{\rm d}x}} {\rm d}x \right){\rm e}^{\displaystyle\scriptsize-\int p(x)\,{{\rm d}x}} \\ &= {\rm e}^{\displaystyle\scriptsize-\int p(x)\,{{\rm d}x}}\left( \int q(x){\rm e}^{\displaystyle\scriptsize\int p(x)\,{{\rm d}x}} {\rm d}x + C \right) \end{align*} $$\(\displaystyle \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} - \frac{y}{x} = x \ln x\)
\(\displaystyle \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} - \frac{y}{x} = 0\) を解く．
$$ \begin{align*} \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} &= \frac{y}{x} \\ \int \frac{1}{y}\, {\rm d}y &= \int \frac{1}{x} \,{\rm d}x \\ \ln |y| &= \ln |x| + C_1 \\ \ln \left| \frac{y}{x} \right| &= C_1 \\ \frac{y}{x} &= \pm {\rm e}^{C_1} = C_2 \\ y &= C_2x \end{align*} $$定数 \(C_2\) を関数 \(C_2(x)\) に変化させて与式に代入する．
$$ \begin{align*} \frac{{\rm d}C_2(x)}{{\rm d}x}x + C_2(x) - C_2(x) &= x \ln x \\ C_2(x) &= \int \ln x \, {\rm d}x \\ &= \int(x)^\prime \ln x \, {\rm d}x \\ &= x \ln x - \int x \frac{1}{x} \,{\rm d}x \\ &= x \ln x - x + C \end{align*} \\ \therefore \quad y= (x \ln x - x + C)x = x^2\ln x - x^2 + Cx $$ベルヌーイの微分方程式 #
$$ \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} + p(x)y = q(x)y^n \quad (n \ne 0, 1) $$\(y^n \ne 0\) のとき両辺を \(y^n\) で割って
$$ y^{-n}y^\prime + p(x)y^{1-n} = q(x) $$\(z \coloneqq y^{1-n}\) とする．\(z^\prime = (1-n)y^{-n}y^\prime\) より
$$ \begin{align*} \frac{1}{1-n}z^\prime + p(x)z &= q(x) \\ z^\prime + (1-n)p(x)z &= (1-n)q(x) \end{align*} $$このように線形微分方程式に帰着することで解くことができる．
\(\displaystyle \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} + y = {\rm e}^x y^2\)
\(y = 0\) は解である．
\(y \ne 0\) のとき両辺に \(y^{-2}\) を掛けると
$$ y^{-2}y^\prime + y^{-1} = {\rm e}^x $$\(z \coloneqq y^{-1}\) とすると \(z^\prime = -y^{-2}y^\prime\) より
$$ \begin{align*} -z^\prime + z &= {\rm e}^x \\ z^\prime - z &= - {\rm e}^x \tag{1} \end{align*} $$\(z^\prime - z = 0\) を解くと \(z = C{\rm e}^x\) である．
定数 \(C\) を関数 \(C(x)\) に変化させて \((1)\) に代入する．
$$ \begin{align*} C^\prime(x) {\rm e}^x + C(x){\rm e}^x - C(x){\rm e}^x &= -{\rm e}^x \\ C^\prime(x) &= -1 \\ C(x) &= -x + C \end{align*} \\ \therefore \quad z = (C - x){\rm e}^x $$よって与式の一般解は
$$ y = \frac{1}{(C - x){\rm e}^x} $$\(y = 0\) のとき \(C = \infty\) である．
2階線形 #
$$ \underbrace{\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + p(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + q(x)y}_{\scriptsize\eqqcolon L(y)} = r(x) $$\(r(x) = 0\) のとき斉次、\(r(x) \ne 0\) のとき非斉次という．
任意の \(x\) の関数 \(y_1, \, y_2\) と任意の定数 \(C_1, \, C_2\) について、以下のように線形性が成り立つ．
$$ \small\begin{align*} L(C_1y_1 + C_2y_2) &= \frac{{\rm d}^2}{{\rm d}x^2}(C_1y_1 + C_2y_2) + p(x)\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(C_1y_1 + C_2y_2) + q(x)(C_1y_1 + C_2y_2) \\ &= C_1\left(\frac{{\rm d}^2y_1}{{\rm d}x^2} + p(x)\frac{{\rm d}y_1}{{\rm d}x} + q(x)y_1\right) + C_2\left(\frac{{\rm d}^2y_2}{{\rm d}x^2} + p(x)\frac{{\rm d}y_2}{{\rm d}x} + q(x)y_2\right) \\ &= C_1L(y_1) + C_2L(y_2) \end{align*} $$\(y_1, \, y_2\) が微分方程式 \(L(y)=0\) の解であるとき、\(L(y_1)=0, \, L(y_2)=0\) を満たすから、\(L(C_1y_1 + C_2y_2)=0\) となり、\(C_1y_1 + C_2y_2\) も解であることが分かる．
この \(y_1, \, y_2\) を基本解という．基本解は線形独立でなければならない．
関数の線形独立 #
関数 \(u(x), \, v(x)\) に対して
$$ {}^\forall x, \enspace C_1u(x) + C_2v(x) = 0 \quad \xLeftrightarrow{} \quad C_1 = C_2 = 0 $$が成り立つとき \(u(x), \, v(x)\) は線形独立である．そうでないとき線形従属である．
\(C_1u + C_2v = 0\) と両辺を微分した式を連立すると
$$ \begin{pmatrix} u & v \\ u^\prime & v^\prime \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_1 \\ C_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$ここで \(u, \, v\) が線形独立ならば、この連立方程式は自明な解 \(\begin{pmatrix} C_1 \\ C_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) しか持たない．
このことより
$$ \newcommand\ntsize[1]{{\footnotesize #1}} {}^\forall x, \enspace \det \begin{pmatrix} u & v \\ u^\prime & v^\prime \end{pmatrix} \ne 0 \quad \xLeftrightarrow{} \quad u(x) \ntsize{\textsf{ と }} v(x) \ntsize{\textsf{ は線形独立である}} $$ここで \(W(u,v) \coloneqq \det \begin{pmatrix} u & v \\ u^\prime & v^\prime \end{pmatrix}\) をロンスキアンという．
定数係数斉次2階線形微分方程式 #
$$ \frac{{\rm d}^2y}{{\rm d}x^2} + a \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} + by = 0 \tag{\(*\)} $$解を \(y = {\rm e}^{\lambda x}\) として \((*)\) に代入すると
$$ \begin{align*} \lambda^2 {\rm e}^{\lambda x} + a \lambda {\rm e}^{\lambda x} + b{\rm e}^{\lambda x} &= 0 \\ \lambda^2 + a \lambda + b &= 0 \end{align*} $$これを特性方程式という．
定数係数斉次2階線形微分方程式 \(\displaystyle \frac{{\rm d}^2y}{{\rm d}x^2} + a \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} + by = 0\) の一般解は、特性方程式 \(\lambda^2 + a\lambda + b = 0\) の解に対応して
$$ \newcommand\ntsize[1]{{\footnotesize #1}} y = \left\{\begin{align*} &C_1{\rm e}^{\lambda_1 x} + C_2{\rm e}^{\lambda_2 x} &&\ntsize{\textsf{異なる解 }} \lambda_1, \, \lambda_2 \in \R \\ &{\rm e}^{\lambda_1 x}(C_1 + C_2x) &&\ntsize{\textsf{重解 }} \lambda_1 \\ &{\rm e}^{px}(C_1 \cos qx + C_2 \sin qx) &&\ntsize{\textsf{異なる解 }} p\pm qi \in \Complex \end{align*}\right. $$特性方程式について
-
異なる2つの実数解 \(\lambda_1, \, \lambda_2\)
\({\rm e}^{\lambda_1 x}, \, {\rm e}^{\lambda_2 x}\) は線形独立な解である．
$$ y = C_1{\rm e}^{\lambda_1 x} + C_2{\rm e}^{\lambda_2 x} \tag{\text{\sf\footnotesize 一般解}} $$ -
2重解 \(\lambda_1\)
$$ \begin{align} (\lambda - \lambda_1)^2 &= 0 \notag \\ \lambda^2 - 2\lambda_1\lambda + {\lambda_1}^2 &= 0 \notag \\ \frac{{\rm d}^2y}{{\rm d}x^2} + - 2\lambda_1 \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} + {\lambda_1}^2y &= 0 \tag{\(*^\prime\)} \end{align} $$\({\rm e}^{\lambda_1 x}\) は解である．\(C {\rm e}^{\lambda_1 x}\) も解である．これと線形独立なもう1つの解を求める．
定数 \(C\) を関数 \(C(x)\) に変化させた \(y = C(x){\rm e}^{\lambda_1 x}\) を \((*^\prime)\) に代入する．
$$ \begin{align*} \small C^{\prime\prime}(x){\rm e}^{\lambda_1 x} + 2C^\prime(x)\lambda_1 {\rm e}^{\lambda_1 x} + C(x){\lambda_1}^2 {\rm e}^{\lambda_1 x} \qquad\qquad \\ \small -2\lambda_1\{ C^\prime(x){\rm e}^{\lambda_1 x} + C(x)\lambda_1 {\rm e}^{\lambda_1 x} \} +{\lambda_1}^2C(x){\rm e}^{\lambda_1 x} &= 0 \\ C^{\prime\prime}(x){\rm e}^{\lambda_1 x} &= 0 \\ C^{\prime\prime}(x) &= 0 \\ C(x) &= \int\!\left(\int 0\,{\rm d}x\right){\rm d}x \\ &= \int (0 + C_2)\,{\rm d}x \\ &= C_2x + C_1 \end{align*} \\ \therefore \quad y = C_1{\rm e}^{\lambda_1 x} + C_2x{\rm e}^{\lambda_1 x} $$\({\rm e}^{\lambda_1 x}, \, x{\rm e}^{\lambda_1 x}\) は線形独立な解である．
$$ y = C_1{\rm e}^{\lambda_1 x} + C_2x{\rm e}^{\lambda_1 x} \tag{\text{\sf\footnotesize 一般解}} $$ -
異なる2つの虚数解 \(\lambda_1 = p + qi, \, \lambda_2 = p - qi\)
$$ \begin{align*} {\rm e}^{\lambda_1 x} &= {\rm e}^{(p + qi) x} = {\rm e}^{px}(\cos qx + i \sin qx) \\ {\rm e}^{\lambda_2 x} &= {\rm e}^{(p - qi) x} = {\rm e}^{px}(\cos qx - i \sin qx) \end{align*} $$\({\rm e}^{\lambda_1 x}, \, {\rm e}^{\lambda_2 x}\) は解である．\(\displaystyle \frac{{\rm e}^{\lambda_1 x} + {\rm e}^{\lambda_2 x}}{2}, \, \frac{{\rm e}^{\lambda_1 x} - {\rm e}^{\lambda_2 x}}{2i}\) も解である．
$$ \begin{align*} \frac{{\rm e}^{\lambda_1 x} + {\rm e}^{\lambda_2 x}}{2} &= \frac{{\rm e}^{px}}{2}\{(\cos qx + i \sin qx) + (\cos qx - i \sin qx)\} = {\rm e}^{px}\cos qx \\ \frac{{\rm e}^{\lambda_1 x} - {\rm e}^{\lambda_2 x}}{2i} &= \frac{{\rm e}^{px}}{2i}\{(\cos qx + i \sin qx) - (\cos qx - i \sin qx)\} = {\rm e}^{px}\sin qx \end{align*} $$\({\rm e}^{px}\cos qx, \, {\rm e}^{px}\sin qx\) は線形独立な解である．
$$ y = {\rm e}^{px}(C_1 \cos qx + C_2 \sin qx) \tag{\text{\sf\footnotesize 一般解}} $$
定数係数非斉次2階線形微分方程式 #
$$ \frac{{\rm d}^2y}{{\rm d}x^2} + a \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} + by = r(x) $$特殊解 \(\alpha(x)\) が既知だとする．
\(y^{\prime\prime} + ay^\prime + by = r(x)\) から \(\alpha^{\prime\prime} + a\alpha^\prime + b\alpha = r(x)\) を辺々引くと
$$ (y - \alpha)^{\prime\prime} + a(y - \alpha)^\prime + b(y - \alpha) = 0 $$\(Y \eqqcolon y - \alpha\) とすると
$$ Y^{\prime\prime} + aY^\prime + bY = 0 $$という斉次方程式となる．これを解くと
$$ \newcommand\ntsize[1]{{\footnotesize #1}} \begin{align*} Y &= C_1Y_1 + C_2Y_2 \\ y &= \alpha(x) + \underbrace{C_1Y_1 + C_2Y_2}_{\ntsize{\textsf{余関数 }} y_c} \end{align*} $$このように、一般解は「非斉次方程式の特殊解」\(+\)「斉次方程式の一般解」で与えられる．
「斉次方程式の一般解 (余関数 \(y_c\))」は解の一般性を表現し、「非斉次方程式の特殊解」は方程式を満たすように調整する部分であると言える．
特殊解は未定係数法を用いて求めることができる．
- \(r(x)\) の形に応じて特殊解を予想する．
\(r(x)\) 候補 \(m\) 次の多項式 \(A_mx^m + \cdots + A_1x + A_0\) \({\rm e}^{\alpha x}\) \(A{\rm e}^{\alpha x}\) \(x^m {\rm e}^{\alpha x}\) \({\rm e}^{\alpha x}(A_mx^m + \cdots + A_1x + A_0)\) \(\cos\beta x, \, \sin \beta x\) \(A\cos\beta x + B\sin\beta x\) \({\rm e}^{\alpha x}\cos\beta x, \, {\rm e}^{\alpha x}\sin \beta x\) \({\rm e}^{\alpha x}(A\cos\beta x + B\sin\beta x)\) - 特殊解候補の項と余関数 \(y_c\) の項を比較する．
- 項に重複があれば特殊解候補の項に \(x\) や \(x^2\) を掛けて被らないようにする．
\(y^{\prime\prime} - 2 y^\prime + y = (x^2 + 2x + 3){\rm e}^x\)
与式左辺 \(= 0\) を解く．
$$ \lambda^2 - 2\lambda + 1 = (\lambda - 1)^2 = 0 \; \xRightarrow{} \; \lambda = 1 \\ \therefore \quad y={\rm e}^x(C_1 + C_2x) $$これと与式右辺より特殊解を \(\alpha = x^2(Ax^2 + Bx + C){\rm e}^x\) と予想する．
$$ \newcommand\ntsize[1]{{\footnotesize #1}} \begin{align*} \alpha^\prime &= (4Ax^3 + 3Bx^2 + 2Cx){\rm e}^x + (Ax^4 + Bx^3 + Cx^2){\rm e}^x \\ &= \{Ax^4 + (4A+B)x^3 + (3B+C)x^2 + 2C x\}{\rm e}^x \\ \alpha^{\prime\prime} &= \{4Ax^3 + 3(4A+B)x^2 + 2(3B+C)x + 2C\}{\rm e}^x \\ &\hphantom{{}={}} + \{Ax^4 + (4A+B)x^3 + (3B+C)x^2 + 2C x\}{\rm e}^x \\ &= \small\{Ax^4 + (8A+B)x^3 + (12A + 6B + C)x^2 + (6B+4C)x + 2C\}{\rm e}^x \\ \ntsize{\textsf{与式左辺}} &= \small\{Ax^4 + (8A+B)x^3 + (12A + 6B + C)x^2 + (6B+4C)x + 2C\}{\rm e}^x \\ &\hphantom{{}={}}\small-2\{Ax^4 + (4A+B)x^3 + (3B+C)x^2 + 2C x\}{\rm e}^x \\ &\hphantom{{}={}}\small+\{Ax^4 + Bx^3 + Cx^2\}{\rm e}^x \\ &= \{12Ax^2+6Bx+2C\}{\rm e}^x \end{align*} $$与式右辺と比較して \(\displaystyle A = \frac{1}{12}, \, B = \frac{1}{3}, \, C = \frac{3}{2}\) より
$$ \alpha = x^2\left( \frac{1}{12}x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{3}{2} \right){\rm e}^x $$よって与式の一般解は
$$ y = \left( \frac{1}{12}x^4 + \frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + C_1 + C_2x \right){\rm e}^x $$定数変化法を用いて \(y^{\prime\prime} - 4y^\prime + 4y = 6x {\rm e}^{2x}\) を解け．
与式左辺 \(= 0\) を解く．
$$ \lambda^2 - 4 \lambda + 4 = (\lambda - 2)^2 = 0 \; \xRightarrow{} \; \lambda = 2 \\ \therefore \quad y = {\rm e}^{2x}(C_1 + C_2x) $$\(y = C_1{\rm e}^{2x}\) の定数 \(C_1\) を関数 \(C_1(x)\) に変化させて与式に代入する．
$$ \begin{align*} y^{\prime\prime} - 4y^\prime + 4y &= {C_1}^{\prime\prime}(x){\rm e}^{2x} + 2{C_1}^\prime(x)(2{\rm e}^{2x}) + C_1(x)(4{\rm e}^{2x}) \\ &\hphantom{{}={}} -4 \{ {C_1}^\prime(x){\rm e}^{2x} + 2C_1(x){\rm e}^{2x} \} \\ &\hphantom{{}={}} + 4C_1(x){\rm e}^{2x} \\ &= {C_1}^{\prime\prime}(x){\rm e}^{2x} \\ {C_1}^{\prime\prime}(x){\rm e}^{2x} &= 6x{\rm e}^{2x} \\ {C_1}^{\prime\prime}(x) &= 6x \\ {C_1}^\prime(x) &= 3x^2 + C_3 \\ C_1(x) &= x^3 + C_3x + C_4 \end{align*} \\ \therefore \quad y = (x^3 + C_3x + C_4){\rm e}^{2x} $$次の公式を用いれば、非斉次方程式 \(y^{\prime\prime} + a y^\prime + by = r(x)\) の特殊解 \(\alpha(x)\) が求まる．
$$ \alpha(x) = - y_1 \int \frac{y_2r(x)}{W(y_1, \, y_2)} \, {\rm d}x + y_2 \int \frac{y_1r(x)}{W(y_1, \, y_2)} \, {\rm d}x $$定数変化法を用いる．
-
斉次方程式 \(y^{\prime\prime} + ay^\prime + by = 0\) の一般解を求める．
$$ y = C_1 y_1 + C_2 y_2 $$ -
定数 \(C_1, \, C_2\) を関数 \(C_1(x), \, C_2(x)\) に変化させ、条件 \({C_1}^\prime(x)y_1 + {C_2}^\prime(x)y_2 = 0\) を課して非斉次方程式 \(y^{\prime\prime} + ay^\prime + by = r(x)\) に代入する．
$$ \begin{align*} y^\prime &= {C_1}^\prime(x)y_1 + C_1(x){y_1}^\prime + {C_2}^\prime(x)y_2 + C_2(x){y_2}^\prime \\ &= C_1(x){y_1}^\prime + C_2(x){y_2}^\prime \\ y^{\prime\prime} &= {C_1}^\prime(x){y_1}^\prime + C_1(x){y_1}^{\prime\prime} + {C_2}^\prime(x){y_2}^\prime + C_2(x){y_2}^{\prime\prime} \\ \therefore \quad y^{\prime\prime}+ay^\prime + b &= {C_1}^\prime(x){y_1}^\prime + C_1(x){y_1}^{\prime\prime} + {C_2}^\prime(x){y_2}^\prime + C_2(x){y_2}^{\prime\prime} \\ &\hphantom{{}={}} + a \{C_1(x){y_1}^\prime + C_2(x){y_2}^\prime\} \\ &\hphantom{{}={}} + b \{C_1(x) y_1 + C_2(x) y_2\} \\ &= C_1(x)({y_1}^{\prime\prime} + a{y_1}^\prime + by_1) + C_2(x)({y_2}^{\prime\prime} + a{y_2}^\prime + by_2) \\ &\hphantom{{}={}} + {C_1}^\prime(x){y_1}^\prime + {C_2}^\prime(x){y_2}^\prime \\ &= {C_1}^\prime(x){y_1}^\prime + {C_2}^\prime(x){y_2}^\prime \end{align*} $$よって次を満たす \(C_1(x), \, C_2(x)\) を考えれば良い．
$$ \begin{pmatrix} y_1 & y_2 \\ {y_1}^\prime & {y_2}^\prime \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {C_1}^\prime(x) \\ {C_2}^\prime(x) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ r(x) \end{pmatrix} $$\(W(y_1, \, y_2) \ne 0\) である (証明略) から
$$ \begin{pmatrix} {C_1}^\prime(x) \\ {C_2}^\prime(x) \end{pmatrix} = \frac{1}{W(y_1, \, y_2)} \begin{pmatrix} {y_2}^\prime & -y_2 \\ -{y_1}^\prime & y_1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ r(x) \end{pmatrix} = \frac{1}{W(y_1, \, y_2)} \begin{pmatrix} -y_2r(x) \\ y_1r(x) \end{pmatrix} $$
以上より特殊解は
$$ \alpha(x) = - y_1 \int \frac{y_2r(x)}{W(y_1, \, y_2)} \, {\rm d}x + y_2 \int \frac{y_1r(x)}{W(y_1, \, y_2)} \, {\rm d}x $$ロンスキアンを用いて \(\displaystyle y^{\prime\prime} + y = \frac{1}{\cos^3 x}\) を解け．
与式左辺 \(= 0\) を解く．
$$ \lambda^2 + 1 = 0 \; \xRightarrow{} \; \lambda = \pm i \\ \therefore \quad y = C_1\cos x + C_2\sin x $$与式の特殊解 \(\alpha\) は
$$ W = \det\begin{pmatrix} \cos x & \sin x \\ - \sin x & \cos x \end{pmatrix} = \cos^2 x + \sin^2 x = 1 $$より
$$ \begin{align*} \alpha &= - \cos x \int \frac{\sin x}{\cos^3 x} \, {\rm d}x + \sin x \int \frac{\cos x}{\cos^3 x} \, {\rm d}x \\ &= \cos x \cdot \frac{1}{-2} (\cos x)^{-2} + \sin x \tan x \\ &= - \frac{1}{2\cos x} + \sin x \cdot\frac{\sin x}{\cos x} \\ &= \frac{-1 + 2(1-\cos^2 x)}{2\cos x} \\ &= \frac{1-2\cos^2 x}{2\cos x} \\ &= \frac{1}{2\cos x} - \cos x \end{align*} $$よって与式の一般解は
$$ \begin{align*} y &= \frac{1}{2\cos x} \underbrace{{}- \cos x + C_1 \cos x}_{\scriptsize(-1+C_1)\cos x} + C_2 \sin x \\ &= \frac{1}{2\cos x} + C_3 \cos x + C_2 \sin x \end{align*} $$一般に、非斉次微分方程式 \(L(y) = r(x)\) の一般解 \(y\) は、その特殊解 \(y_1\) と斉次微分方程式 \(L(y) = 0\) の一般解 \(y_0\) の和で与えられる．これは次のように示される．
$$ L(y - y_1) = L(y) - L(y_1) = r(x) - r(x) = 0 $$より \(y - y_1\) は斉次微分方程式 \(L(y) = 0\) の解である．\(y - y_1 \eqqcolon y_0\) とすると \(y = y_1 + y_0\) となる．
連立微分方程式 #
次の連立微分方程式を解け．
$$ \left\{\begin{align*} \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} &= -2x + 2y + 6t \quad\tag{1} \\ \frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} &= -x - 5y \tag{2} \end{align*}\right. $$
\((2)\) より \(\displaystyle x = - \frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} - 5y\) であり、これを \((1)\) に代入する．
$$ \begin{align*} \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\left(-\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} - 5y\right) &= -2\left(-\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} - 5y\right)+2y+6t \\ -\frac{{\rm d}^2y}{{\rm d}t^2} - 7\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}-12y &= 6t \\ \frac{{\rm d}^2y}{{\rm d}t^2} + 7\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}+12y &= -6t \tag{\(*\)} \end{align*} $$\((*)\) 左辺 \(= 0\) を解く．
$$ \lambda^2 + 7\lambda + 12 = (\lambda + 4)(\lambda + 3) = 0 \; \xRightarrow{} \; \lambda = -4, \, -3 \\ \therefore \quad y=C_1{\rm e}^{-4t} + C_2{\rm e}^{-3t} $$与式の特殊解を \(\alpha = At + B\) と予想する．
$$ \newcommand\ntsize[1]{{\footnotesize #1}} \ntsize{\textsf{与式左辺}} = 0 + 7A + 12(At + B) = 12At+(7A+12B) $$与式右辺と比較して \(\displaystyle A = - \frac{1}{2}, \, B = \frac{7}{24}\) より
$$ \alpha = - \frac{1}{2}t + \frac{7}{24} $$よって与式の一般解は
$$ y = -\frac{1}{2}t + \frac{7}{24} + C_1{\rm e}^{-4t} + C_2{\rm e}^{-3t} $$また
$$ \begin{align*} x &= - \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \left(-\frac{1}{2}t + \frac{7}{24} + C_1{\rm e}^{-4t} + C_2{\rm e}^{-3t}\right) - 5\left(-\frac{1}{2}t + \frac{7}{24} + C_1{\rm e}^{-4t} + C_2{\rm e}^{-3t}\right) \\ &= \frac{1}{2}+4C_1{\rm e}^{-4t} + 3C_2{\rm e}^{-3t} + \frac{5}{2}t-\frac{35}{24} - 5C_1{\rm e}^{-4t} - 5C_2{\rm e}^{-3t} \\ &= \frac{5}{2}t - \frac{23}{24} - C_1{\rm e}^{-4t} -2C_1{\rm e}^{-3t} \end{align*} $$